Question

設(shè)函數(shù)，g（x）=（a+2）x+5-3a．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的值域；
（2）若對(duì)于任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．．

Answer 1

解：（1）∵，
設(shè)0≤x₁≤x₂≤1，
則f（x₁）-f（x₂）=
=，
∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=0，
f（x）_max=f（1）=1，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的值域?yàn)閇0，1]．
（2）∵g（x）=（a+2）x+5-3a，
記f（x），g（x）在區(qū)間[0，1]上的值域分別是A，B，
由題意知A⊆B，
由（1）知，A=[0，1]，
當(dāng)a＞-2時(shí)，B=[g（0），g（1）]=[5-3a，7-2a]，
則，解得；
當(dāng)a=2時(shí)，B={11}，不合題意．
當(dāng)a＜-2時(shí)，B=[g（1），g（0）]=[7-2a，5-3a]，則，無(wú)解．
綜上所述，a的取值范圍是[，3]．
分析：（1）設(shè)0≤x₁≤x₂≤1，用定義證明f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，由此能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的值域．
（2）記f（x），g（x）在區(qū)間[0，1]上的值域分別是A，B，由題意知A⊆B，根據(jù)實(shí)數(shù)a+2的取值進(jìn)行分類討論，能求出a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的應(yīng)用，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．