Question

把正整數按上小下大、左小右大的原則排成如圖所示的數表：
第一行有1個正整數，第二行有2個正整數，…，第i行共有2^i-1個正整數，設a_ij（i、j∈N*）是位于這個數表中從上往下數第i行，從左往右數第j個數（如a₃₂=5，a₄₄=11）．
（Ⅰ）求數表中第6行第5個數a₆₅；
（Ⅱ）若a_ij=300，求i，j的值；
（Ⅲ）記A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N*），求A_n．

Answer 1

分析：（I）根據已知條件可知每行的正整數的個數是等比數列，據此可先算出前5行的數分別為1，2，4，8，16總共31個，從而得到a₆₅=36
（II）觀察已知可得每行的第一個數是以1為首項，以2為公比的等比數列，從而得a_i1=2^i-1，每列的數又構成了以1為公差的等差數列，所以a_ij=2^i-1+j-1，根據該通項判斷300的位置
（III）利用（II）可得a_nn=2^n-1+n-1，該書列是等差數列與等比數列的和構成的，用分組求和

解答：解：（I）由于i第行有2^i-1個數，前5行共有1+2+4+8+16=31個數
所以第6行的第5個數是正整數的第36個數，所以a₆₅=36
（II）由于每行的第一個數分別為1，2，4，8，…構成以1為首項，以2為公比的等比數列，
每行又構成以1為公差，以2^i-1為首項的等差數列
所以第i行的第一個數a_i1=2^i-1，a_ij=2^i-1+j-1
而a₉₁=2⁸=256
 所以300=a_9j=256+j-1，解得j=45
300應在第9行第45列，即i=9，j=45
（III）由（II）可得a_nn=2^n-1+n-1
所以A_n=a₁₁+a₂₂+…+a_nn
=（2⁰+0）+（2¹+1）+（2²+2）+…+（2^n-1+n-1）
=（2⁰+2¹+…+2^n-1）+（0+1+2+…+n-1）
=

1-2n

1-2

+

1+n-1

2

×(n-1)=2n+

n(n-1)

2

-1

點評：本題以表格的形式給出正整數的排序方式，其關鍵是由表中的排序觀察總結出每行的第一個數等比的規律及每行內的數成等差的規律，從而得出任意一個數的通項公式，結合通項的特點，又考查了分組求和的方法，從而培養學生的觀察、發現、總結規律的能力，綜合運用公式的能力．