Question

（2013•成都二模）巳知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）（a＞b＞0）以拋物線y²=8x的焦點為頂點，且離心率為

1

2

（I）求橢圓E的方程；
（II）若直線l：y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點，與直線x=-4相交于Q點，P是 橢圓E上一點且滿足

OP

=

OA

+

OB

（其中O為坐標原點），試問在x軸上是否存在一點T，使得

OP

•

TQ

為定值？若存在，求出點了的坐標及

OP

•

TQ

的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓以拋物線y²=8x的焦點為頂點，且離心率為

1

2

，求出幾何量，即可求橢圓E的方程；
（II）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理確定P的坐標，代入橢圓方程，再利用向量的數量積公式，即可得到結論．

解答：解：（I）拋物線y²=8x的焦點即為橢圓E的頂點，即a=2，
∵離心率為

1

2

，∴

c

a

=

1

2

∴c=1，∴b=

a2-c2

=

3

∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
直線方程代入橢圓方程，可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
∴x₁+x₂=

-8km

4k2+3

，y₁+y₂=

6m

4k2+3

∴P（

-8km

4k2+3

，

6m

4k2+3

）代入橢圓方程可得

( -8km 4k2+3 )2

4

+

( 6m 4k2+3 )2

3

=1
∴4m²=4k²+3
設T（t，0），Q（-4，m-4k），
∴

TQ

=（-4-t，m-4k），

OP

=（

-8km

4k2+3

，

6m

4k2+3

）
∴

OP

•

TQ

=

-8km

4k2+3

×（-4-t）+

6m

4k2+3

×（m-4k）=

6m2+8km+8kmt

4k2+3

∵4m²=4k²+3
∴

OP

•

TQ

=

3

2

+

2k(1+t)

m

∴要使

OP

•

TQ

為定值，只需[

2k(1+t)

m

]2=

(4m2-3)(1+t)

m2

為定值
∴1+t=0
∴t=-1
∴在x軸上存在一點T（-1，0），使得

OP

•

TQ

=

3

2

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．