Question

已知定點(diǎn)A（-3，0），B（3，0），動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y²=2x上的移動(dòng)，則

PA

•

PB

的最小值等于

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

t2，t），從而得到向量

PA

、

PB

關(guān)于t的坐標(biāo)形式，算出

PA

•

PB

=

1

4

t4+t2-9．再根據(jù)平方非負(fù)的性質(zhì)加以計(jì)算，可得當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)重合時(shí)

PA

•

PB

的最小值為-9．

解答：解：由點(diǎn)P在拋物線y²=2x上的移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

t2，t），
∵A（-3，0）、B（3，0），∴

PA

=（-3-

1

2

t2，-t），

PB

=（3-

1

2

t2，-t），
根據(jù)向量數(shù)量積的公式，
可得

PA

•

PB

=（-3-

1

2

t2）（3-

1

2

t2）+t²=

1

4

t4+t2-9，
∵

1

4

t4≥0且t²≥0，當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)即P坐標(biāo)為（0，0）時(shí)，等號(hào)成立．
∴

PA

•

PB

=

1

4

t4+t2-9≥-9，當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)重合時(shí)

PA

•

PB

的最小值為-9．
故答案為：-9

點(diǎn)評(píng)：本題給出定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)與拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P，求

PA

•

PB

的最小值，著重考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．