Question

【題目】如圖，AB切⊙O于點B，直線AO交⊙O于D，E兩點，BC⊥DE，垂足為C．

（1）證明：∠CBD=∠DBA；
（2）若AD=3DC，BC= ，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE是⊙O的直徑，

則∠BED+∠EDB=90°，

∵BC⊥DE，

∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，

∵AB切⊙O于點B，

∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；

（2）證明：由（1）知BD平分∠CBA，

則 =3，

∵BC= ，

∴AB=3 ，AC= =4，

則AD=3，

由切割線定理得AB2=ADAE，

即AE= ，

故DE=AE﹣AD=3，

即可⊙O的直徑為3．

【解析】（1）根據直徑的性質即可證明：∠CBD=∠DBA；（2）結合割線定理進行求解即可求⊙O的直徑．