Question

設f（x）=xsinx，x₁、x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，且f（x₁）＞f（x₂），則下列結論必成立的是（　　）

A、x₁＞x₂

B、x₁+x₂＞0

C、x₁＜x₂

D、x₁²＞x₂²

Answer 1

分析：由題設條件，判斷出f（x）是偶函數；再利用導數的性質分別判斷出函數[0，

π

2

]、[-

π

2

，0]的單調性，再用等價轉化思想能求出結果．

解答：解：∵f（x）=xsinx，
∴f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），
∴函數f（x）=xsinx是偶函數，
∵f′（x）=sinx+xcosx，
∴x∈[0，

π

2

]時，f′（x）≥0，f（x）是增函數，
x∈（-

π

2

，0）時，f′（x）≤0，f（x）是減函數，
∵f（x₁）＞f（x₂），
∴f（|x₁|）＞f（|x₂|），
∴x₁＞x₂，
∴x12＞x22．
故選D．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性的應用，解題時要注意導數性質的合理運用．