Question

（普通班）如圖所示，從橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢
圓的左焦點F₁，且它的長軸端點A及短軸端點B的連線AB∥OM．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）設Q是橢圓上任意一點，F₂是右焦點，F₁是左焦點，求∠F₁QF₂的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵MF₁⊥x軸，AB∥OM，
∴Rt△OMF₁∽Rt△ABO?…（*）
設點M（-c，y₁），代入橢圓方程，
得，解之得y₁=（舍負），所以MF₁=，
又∵AO=a，BO=b，OF₁=c，
∴將AO、BO、MF₁、OF₁的長代入（*）式，得，
∴b=c，得到b²=c²，即a²-c²=c²，所以a²=2c²，
∴離心率e滿足e²=，可得（舍負）（8分）
（2）分兩種情況加以討論
①當點Q與橢圓長軸的端點重合時，∠F₁QF₂的大小為零；
②當點Q不與橢圓長軸的端點重合時，設∠F₁QF₂的大小為θ，則
在△F₁QF₂中，
即，
將F₁F₂=2c，QF₁+QF₂=2a代入，得4c²=4a²-2QF₁•QF₂（1+cosθ），
∴4a²-4c²=2QF₁•QF₂（1+cosθ），
∵QF₁•QF₂≤=a²，即得2QF₁•QF₂（1+cosθ）≤2a²（1+cosθ），
∴4a²-4c²≤2a²（1+cosθ），結合（1）的結論a²=2c²，
∴2a²≤2a²（1+cosθ）?cosθ≥0，
∵θ∈（0，π）
∴0＜θ≤，
綜上所述，，即∠F₁QF₂的取值范圍是（14分）
分析：（1）首先根據MF₁⊥x軸，AB∥OM，得到Rt△OMF₁∽Rt△ABO，從而得到比例線段：．再根據點M在橢圓上，
求出M的縱坐標，得出MF₁=，再結合AO=a，BO=b，OF₁=c，代入所得比例式，化簡可得b=c，從而求出橢圓的離心率e；
（2）當點Q與橢圓長軸的端點重合時，∠F₁QF₂的大小為零；當點Q不與橢圓長軸的端點重合時，設∠F₁QF₂的大小為θ，
在△F₁QF₂中，利用余弦定理，結合基本不等式和橢圓的定義，可以證出4a²-4c²≤2a²（1+cosθ），結合（1）的結論
a²=2c²，可以證出cosθ≥0，從而得到0＜θ≤．最后綜合，得到，即為∠F₁QF₂的取值范圍．
點評：本題結合一個特殊的橢圓，以求橢圓的離心率和焦點三角形中角的取值范圍為載體，著重考查了橢圓的基本概念、余弦定理和基本不等式等知識點，屬于中檔題．