Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，
PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中點．

（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為 ，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PC．

∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2 ．

∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．

∵AC平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC．

（Ⅱ）如圖，以點C為原點， ， ， 分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，﹣2，0）．

設P（0，0，2a）（a＞0），則E（1，﹣1，a）， =（2，2，0）， =（0，0，2a）， =（1，﹣1，a）．

取 =（1，﹣1，0），則 = =0， 為面PAC的法向量．

設 =（x，y，z）為面EAC的法向量，則 = =0，

即 ，取x=a，y=﹣a，z=﹣2，則 =（a，﹣a，﹣2），

依題意，|cos＜ ， ＞|= = = ，則a=2．

于是n=（2，﹣2，﹣2）， =（2，2，﹣4）．

設直線PA與平面EAC所成角為θ，

則sinθ=|cos＜ ， ＞|= = ，

即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為

【解析】（Ⅰ）證明AC⊥PC．AC⊥BC．通過直線與平面垂直的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理證明平面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）如圖，以點C為原點， ， ， 分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標以及面PAC的法向量．面EAC的法向量，通過二面角P﹣AC﹣E的余弦值為 ，求出直線PA的向量，利用向量的數量積求解直線PA與平面EAC所成角的正弦值即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直)，還要掌握空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則)的相關知識才是答題的關鍵．