Question

用平行于四面體ABCD的一組對棱AC和BD的平面截此四面體,得一四邊形MNPQ,如圖2-2-19所示.

圖2-2-19

(1)求證:MNPQ是平行四邊形.

(2)若AC=BD,能截得菱形嗎,如何截？

(3)在什么情況下,可以截得一個矩形？

(4)在什么情況下,能截得一個正方形呢,如何截？

(5)若AC=BD=a,求證:平行四邊形MNPQ的周長一定.

Answer 1

思路分析:本題以線面、面面的平行為載體,來解決相關的問題.對于(1)可用兩組對邊分別平行來證明MNPQ是平行四邊形;再由比例的性質證得結論(2);當對棱垂直時,由空間等角的關系,可見四邊形MNPQ的一個角是直角,從而得到結(3);對于結論(4),只要滿足既是菱形又是矩形的要求即可;對于第(5)問,只要注意△AMQ∽△ABD,就可把平行四邊形MNPQ的周長表示出來,從而確定它是否是與a有關的定值.

(1)證明:∵AC∥平面MNPQ,且平面ADC∩平面MNPQ=PQ,且AC平面ADC,

∴AC∥PQ.

同理可證AC∥MN,BD∥MQ,BD∥NP.

∴PQ∥MN,MQ∥NP.

∴四邊形MNPQ為一平行四邊形.

(2)解:由(1)得①

由MQ∥BD,得.②

又AC=BD,

①÷②得,當DQ=AQ時,

PQ=MQ.又四邊形MNPQ為平行四邊形,

∴MNPQ為菱形,即當Q取AD中點時可截得菱形.

(3)解:顯然,當AC⊥BD時,MN⊥NP,即四邊形MNPQ為矩形.

(4)解:由(2)和(3)可知,當AC=BD,且AC⊥BD,且Q為AD的中點時,四邊形MNPQ為一正方形.

(5)證明:設MQ=x,PQ=y,Q為AD上一點,且AQ∶QD=m∶n,

∵△AMQ∽△ABD,

∴,且BD=a.

∴x=MQ=a.

同理可得y=PQ=a.

∴x+y=a+a=a.

∴周長為2(x+y)=2a,

即當AC=BD=a時,平行四邊形MNPQ的周長為定值2a.

  綠色通道:本小題是一道典型的發散性思維題,其中綜合了幾何中的多個知識點,特別是線面平行和線線平行.正確理解相關平面圖形的定義是解答本題的關鍵.通過引入了參數m、n、x、y,可建立相關量間的關系式,消去參數后即得所求結果.