Question

 

己知三棱柱，在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，，，又知

(1)求證：平面；

(2)求點C到平面的距離；

(3)求二面角余弦值的大小．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

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（1）得，因為底，所以，

，所以面，所以   ……3分

因為，，所以底 ……1分

（2）由（1）得，所以是菱形，……1分

所以，，……1分

由，得  ……2分

（3）設，作于，連，由（1）所以，所以為二面角平面角，……2分

在中，所以，所以二面角余弦   ……2分

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（1）如圖，取的中點，則，因為，所以，又平面，以為軸建立空間坐標系，則，，，，，      ……1分

，，，    ……1分

由，知，             ……1分

    又，從而平面；     ……1分

（2）由，得    ……1分

    設平面的法向量為，，，所以

，設，則    ……2分

    所以點到平面的距離    ……1分

（3）再設平面的法向量為，，，  ……1分

    所以，設，則，                  ……2分

    故，根據法向量的方向可知二面角的余弦值大小為  ……1分