Question

三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA=PB=PC=3。

（1）求證：AB⊥BC ；
（2）如果AB=BC=2，求AC與側(cè)面PAC所成角的大小。

Answer 1

解：（1）取AC中點O，連結(jié)PO、BO ∵PA=PC　 ∴PO⊥AC　 又∵側(cè)面PAC⊥底面ABC ∴PO⊥底面ABC 又PA=PB=PC　 ∴AO=BO=CO ∴△ABC為直角三角形　 ∴AB⊥BC。 （2）取BC的中點為M，連結(jié)OM，PM， 所以有OM=AB=，AO= ∴ 由（1）有PO⊥平面ABC，OM⊥BC， 由三垂線定理得PM⊥BC ∴平面POM⊥平面PBC， 又∵PO=OM= ∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中點N，連結(jié)ON，NC 則ON⊥PM， 又∵平面POM⊥平面PBC，且交線是PM， ∴ON⊥平面PBC ∴∠ONC即為AC與平面PBC所成的角 ∴ ∴ 故AC與平面PBC所成的角為。