Question

（本題滿分12分）
已知各項均為正數的數列{a_n}滿足2a²_n+1+3a_n+1a_n-2a²_n=0（n）且a₃+是a₂，a₄的等差中項，數列{b_n}的前n項和S_n=n²
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）若T_n=，求證：T_n<
(3)若c_n=-,T^/_n=c₁+c₂+…+c_n,求使T^/_n+n2ⁿ⁺¹>125成立的正整數n的最小值

Answer 1

（1）∵2a²_n+1+3∴（a_n+1+2a_n）（2a_n+1-a_n）=0，∵{a_n}的各項均為正數，∴2a_n+1-a_n="0 " 即：a_n+1=，∴{a_n}是以為公比的等比數列，由a₂+a₄=2a₃+得。
a₁=∴a_n=（又由S_n=n²得b_n=2n-1
（2）T_n=∴T_n<
(3)由c_n=-,得c_n=-n•2^n≥
得T^/=(1-n)2ⁿ⁺¹-2, 解答n≥6.

解析