Question

定義,,.
（1）比較與的大小；
（2）若，證明：；
（3）設的圖象為曲線，曲線在處的切線斜率為，若，且存在實數，使得，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）實數的取值范圍為.

試題分析：（1）根據定義求出和，進而比較出和的大小；（2）先利用定義求出和的表達式，，利用分析法將所要證明的不等式等價轉化為，構造新函數，問題等價轉化利用導數證明函數在區間上單調遞減；（3）先利用定義求出函數的解析式，并求出相應的導數，從而得到的表達式，結合對數運算將問題等價轉化為不等式在有解，結合導數對函數的極值點是否在區間進行分類討論，確定函數在區間的最值，利用最值進行分析，從而求出參數的取值范圍.
試題解析：（1）由定義知
∴,∴.
（2）
要證，只要證
∵
令，則，
當時，，∴在上單調遞減.
∵ ∴，即
∴不等式成立.
（3）由題意知：，且
于是有 在上有解.
又由定義知 即
∵ ∴，∴,即
∴在有解.
設
①當即時，≥. 當且僅當時，
∴ 當時，  ∴
②當≤時，即≤時，在上遞減，
∴. ∴
整理得：，無解
綜上所述，實數的取值范圍為.