Question

【題目】如圖，四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為4的菱形，∠ABC=60°，SA⊥平面ABCD，且SA=4，M在棱SA上，且AM=1，N在棱SD上且SN=2ND． （Ⅰ）求證：CN∥面BDM；
（Ⅱ）求直線SD與平面BDM所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（I）∵底面ABCD是邊長為4的菱形，∠ABC=60°， ∴AH⊥BC，又BC∥AD，
∴AD⊥AH．
取BC的中點H，以A為原點，以AD，AH，AS為坐標軸建立空間直角坐標系A﹣xyz，如圖所示：
則D（4，0，0），M（0，0，1），S（0，0，4），B（﹣2，2 ，0），C（2，2 ，0）．
∴ =（2，﹣2 ，0）， =（﹣4，0，4）， =（﹣6，2 ，0）， =（﹣4，0，1），
∴ = =（﹣ ，0， ）， = =（ ，﹣2 ， ），
設平面BDM的法向量為 =（x，y，z），則 ，
∴ ，令x=1得 =（1， ，4）．
∴ = ﹣2 × + =0．
又∵CN平面BDM，
∴CN∥平面BDM．
（II） =﹣4+0+16=12，
| |= =4 ，| |= =2 ，
∴cos＜ ＞= = ．
∴直線SD與平面BDM所成的角的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取BC的中點H，以A為原點，以AD，AH，AS為坐標軸建立空間直角坐標系，求出 和平面BDM的法向量 的坐標，利用數量積證明 ⊥ 即可得出結論；（Ⅱ）通過計算cos＜ ， ＞即可得出直線SD與平面BDM所成的角的正弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．