Question

如圖，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α與平面β的交線上的兩個定點，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，在平面α上有一個動點P，使得∠APD=∠BPC，則△PAB的面積的最大值是（　　）

A．24

B．32

C．12

D．48

Answer 1

分析：利用線面垂直的性質可以得到△PAD與△PBC是直角三角形，再由∠APD=∠BPC得到兩直角三角形相似，
過P作PM⊥AB與M，則M為三角形PAB底邊AB上的高，設出AM的長度t，通過解直角三角形把AM用含有t的代數式表示，代入三角形面積公式后利用配方法求面積的最大值．

解答：解：由題意平面α⊥平面β，A、B是平面α與平面β的交線上的兩個定點，DA?β，CB?β，
且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD與△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，
∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，
∴PB=2PA
如圖，

作PM⊥AB，垂足為M，令AM=t，
在兩個Rt△PAM與Rt△PBM中，AM是公共邊及PB=2PA
∴PA²-t²=4PA²-（6-t）²
解得PA²=12-4t
∴PM=

12-4t-t2

．
∴S=

1

2

×AB×PM=

1

2

×6×

12-4t-t2

=3

12-4t-t2

=3

16-(t+2)2

≤12．
即三角形面積的最大值為12．

點評：本題考查了平面與平面垂直的性質，考查了學生的空間想象能力，解答此題的關鍵是借助于三角形相似尋找關系，是中檔題．