Question

船行前方的河道上有一座圓拱橋，在正常水位時，拱圈最高點距水面為9 m，拱圈內水面寬22 m．船只在水面以上部分高6.5 m、船頂部寬4 m，故通行無阻．近日水位暴漲了2.7 m，船已經不能通過橋洞了．船員必須加重船載，降低船身．試問：船身必須降低多少，才能順利地通過橋洞？

Answer 1

答案：
解析：

　　解：畫出正常水位時的橋、船的示意圖如圖(1)；漲水后橋、船的示意圖如圖(2)．

　　以正常水位時河道中央為原點，建立如圖(2)所示的坐標系．設橋拱圓頂的圓心在O₁(x₁，y₁)，則x₁＝0，因此橋拱圓頂在坐標系中的方程為x²＋(y－y₁)²＝r²．其中r為橋拱半徑．橋拱最高點B的坐標為(0，9)，橋拱與水線的交點A的坐標為(11，0)．圓O₁過點A、B，因此?0²＋(9－y₁)²＝r²，11²＋(0－y₁)²＝r²，兩式相減后得121＋18y₁－81＝0，y₁＝≈－2.22；代回到兩個方程之一，即可解出r≈11.22．所以橋拱圓頂的方程是x²＋(y＋2.22)²＝125.94．

　　當船行駛在河道的正中央時，船頂最寬處角點C的坐標為(x，y)，則x＝2．使船能通過橋洞的最低要求是點C正好的圓O₁上，因此?C(2，y)應滿足圓O₁的方程，即2²＋(y＋2.22)²＝125.94，解出y≈8.82．扣除水面上漲的2.70，點C距水面為8.82－2.70＝6.12．

　　因為船身在水面以上部分原高6.5，所以為使船能通過橋洞，必須降低船身6.5－6.12＝0.38(m)以上．