Question

如圖所示，F是拋物線x²=2py（p＞0）的焦點，點R（1，4）為拋物線內一定點，點Q為拋物線上一動點，|QR|+|QF|的最小值為5．
（1）求拋物線方程；
（2）已知過點P（0，-1）的直線l與拋物線x²=2py（p＞0）相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，l₁、l₂分別是該拋物線在A、B兩點處的切線，M、N分別是l₁、l₂與直線y=-1的交點．求直線l的斜率的取值范圍并證明|PM|=|PN|．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義，結合|QR|+|QF|的最小值為5，建立方程，即可求得拋物線的方程；
（2）設直線l的方程與拋物線方程聯立，確定k的范圍，求出拋物線在A、B處的切線方程，令y=-1，可得M、N的橫坐標，利用韋達定理，可得橫坐標互為相反數，從而可得結論．

解答：（1）解：設拋物線的準線為QQ'⊥l于Q'，過Q作QQ'⊥l于Q'，過R作RR'⊥l于R'，由拋物線定義知|QF|=|QQ'|，…（1分）
∴|QR|+|QF|=|QR|+|QQ'|≥|RR'|（折線段大于垂線段），當且僅當R、Q、R'三點共線取等號．…（3分）
由題意知|RR′|=5，
∴4+

p

2

=5，
∴p=2，故拋物線的方程為：x²=4y…（5分）
（2）證明：由已知條件可知直線l的斜率存在且不為0，設直線l：y=kx-1，…（6分）
則

y=kx-1 x2=4y

，∴x²-4ky+4=0，…①…（7分）
依題意，有△=16k²-16＞0，∴k＜-1或k＞1；…（8分）
由x²=4y，∴y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，…（9分）
所以拋物線在A處的切線l₁的方程為：y-

1

4

x

2 1

=

1

2

x1(x-x1)，即y=

1

2

x1x-

1

4

x

2 1

．…（10分）
令y=-1，得xM=

x 2 1 -4

2x1

．…（11分）     
同理，得xN=

x 2 2 -4

2x2

．…（12分）
注意到x₁、x₂是方程①的兩個實根，故x₁x₂=4，即x2=

4

x1

，…（13分）
從而有xN=

x 2 2 -4

2x2

=

( 4 x1 )2-4

8 x1

=

4- x 2 1

2x1

=-xM，
因此，|PM|=|PN|．…（14分）

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．