Question

已知橢圓C：+=1(a＞b＞0)，直線y=x+與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任一點(diǎn)，△F₁PF₂的重心為G，內(nèi)心為I，且IG∥F₁F₂。⑴求橢圓C的方程。⑵若直線L：y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B且線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)C(，0)求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：⑴設(shè)P(x₀，y₀)，x₀±a，則G(，) ∵IG∥F₁F₂  ∴Iy=  |F₁F₂|=2c

∴S△F₁PF₂=·|F₁F₂|·|y₀|=(|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|) · ||　　　……………………（4分）　

∴2c·3=2a+2c  ∴e== 又∵b=  ∴b=  ∴a=2∴橢圓C的方程為+=1(6分)

⑵設(shè)A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)    ，消去y  (3+4k²)x²+8kmx+4m²－12=0

∴△=(8km)²－4(3+4k²)(4m²－12)＞0，即m²＜4k²+3又∵x₁+x₂=－，則y₁+y₂=

∴線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－, )                     …………(8分)   

又線段AB的垂直平分線l′的方程為y= (x－)                      …………(9分)

點(diǎn)P在直線l′上，=－ (－－)                    …………(10分)

∴4k²+6km+3=0  ∴m=－(4k²+3)  ∴＜4k²+3，  ∴k²＞  

∴k＞或k＞－  ∴k的取值范圍是(－∞，－)∪(，+∞)   …………(13分)

 

【解析】略