Question

（2012•昌圖縣模擬）設曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，l）處的切線與x軸的交點的橫坐標為x_n，則log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+log₂₀₁₃ x₃+…+log₂₀₁₃ x₂₀₁₁+log₂₀₁₃x₂₀₁₂的值為（　�。�

A．-log₂₀₁₃2012

B．-1

C．（log₂₀₁₃2012）-l

D．1

Answer 1

分析：先求曲線在點（1，1）處的切線方程，從而得出切線與x軸的交點的橫坐標為x_n，再求相應的函數值．

解答：解：∵y=xⁿ⁺¹，∴y′=（n+1）xⁿ，當x=1時，y′=n+1，即切線的斜率為：n+1，
故y=xⁿ⁺¹在（1，1）處的切線方程為y-1=（n+1）（x-1），令y=0可得x=

n

n+1

，
即該切線與x軸的交點的橫坐標為x_n=

n

n+1

，
所以log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂
=log2013

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

2012

2013

=
log2013

1

2013

=-1，
故選B．

點評：本題利用了導數的幾何意義，同時利用了對數運算的性質求出函數，屬中檔題．