Question

（2008•河西區三模）已知函數f（x）=x-a

x2+1

（其中a為常數）
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數f（x）在區間（0，1]上是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，再求在x=1處的導數得到切線的斜率，然后利用點斜式求出切線方程即可；
（2）要使f（x）在區間（0，1]上是增函數，只要f′（x）＞0在（0，1]上恒成立，然后利用參變量分離進行求解即可．

解答：解：（1）當a=1時，f(x)=x-

x2+1

f′(x)=1-

x

x2+1

（2分）k=f′(1)=1-

1

2

=1-

2

2

（3分）   又f(1)=1-

2

∴曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-(1-

2

)=(1-

2

2

)(x-1)
即y=(1-

2

2

)x-

2

2

（5分）
（2）f′(x)=1-

ax

x2+1

要使f（x）在區間（0，1]上是增函數，只要f′(x)=1-

ax

x2+1

＞0在（0，1]上恒成立（6分）
即a＜

x2+1

x

在（0，1]上恒成立（7分）
因為

x2+1

x

=

1+ 1 x2

在（0，1]上單調遞減（8分）
而

1+ 1 x2

在（0，1]上的最小值為

2

∴a＜

2

（10分）
又當a=

2

時，f′(x)=1-

2 x

x2+1

在（0，1）上大于0，僅f'（1）=0
故f（x）在（0，1]上也是增函數，綜上得a≤

2

（12分）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的單調性，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．