Question

如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：

(1)∠FEB＝∠CEB；

(2)EF2＝AD·BC.

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.

由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，

從而∠EAB＋∠EBF＝；

又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，

從而∠FEB＝∠EAB.

故∠FEB＝∠CEB.

(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，

∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊，

得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.

同理可證，得AD＝AF.

又在Rt△AEB中，EF⊥AB，

故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.