Question

函數y=log_ax（a＞0，a≠1）在區間[2，+∞）上恒有|y|＞1，則實數a的取值范圍是

(

1

2

，1)∪(1，2)

．

Answer 1

分析：利用對數函數的單調性和特殊點，根據x≥2時，log_ax＞1 恒成立，分a＞1 和1＞a＞0兩種情況，分別求出實數a的取值范圍，再取并集，即得所求．

解答：解：由題意可得，當x≥2時，|log_ax|＞1 恒成立．
若a＞1，函數y=log_ax 是增函數，不等式|log_ax|＞1 即 log_ax＞1，∴log_a2＞1=log_aa，解得 1＜a＜2．
若 1＞a＞0，函數y=log_ax 是減函數，函數y=log

1

a

x 是增函數，不等式|log_ax|＞1 即 log

1

a

x＞1．
∴有log

1

a

2＞1=log

1

a

1

a

，解得 1＜

1

a

＜2，解得

1

2

＜a＜1．
綜上可得，實數a的取值范圍是 (

1

2

，1)∪(1，2)，
故答案為 (

1

2

，1)∪(1，2)．

點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，對數函數不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了分類討論以及轉化的數學思想，屬于基礎題．