Question

已知橢圓

x2

2

+

y2

4

=1兩焦點分別為F₁、F₂，P是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足

PF1

•

PF2

=1，過P作傾斜角互補的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點．
（1）求P點坐標；
（2）求證：直線AB的斜率為定值；
（3）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

（1）由題可得F1(0，

2

)，F2(0-

2

)，
設P₀（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）
則

PF1

=(-x0，

2

-y0)，

PF2

=(-x0，-

2

-y0)（2分）
∴

PF1

•

PF2

=

x

20

-(2-

y

20

)=1，
∵點P（x₀，y₀）在曲線上，則

x 20

2

+

y 20

4

=1，
∴

x

20

=

4- y 20

2

，從而

4- y 20

2

-(2-

y

20

)=1，得y0=

2

．
則點P的坐標為(1，

2

)．（5分）
（2）證明：由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設PB的斜率為k（k＞0），（6分）
則BP的直線方程為：y-

2

=k(x-1)．
由

y- 2 =k(x-1) x2 2 + y2 4 =1

得(2+k2)x2+2k(

2

-k)x+(

2

-k)2-4=0，
設B（x_B，y_B），則1+xB=

2k(k- 2 )

2+k2

，xB=

2k(k- 2 )

2+k2

-1=

k2-2 2 k-2

2+k2

，
同理可得xA=

k2+2 2 k-2

2+k2

，則xA-xB=

4 2 k

2+k2

，yA-yB=-k(xA-1)-k(xB-1)=

8k

2+k2

．（9分）
所以AB的斜率kAB=

yA-yB

xA-xB

=

2

為定值．（10分）
（3）設AB的直線方程：y=

2

x+m．
由

y= 2 x+m x2 2 + y2 4 =1

，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=(2

2

m)2-16(m2-4)＞0，得-2

2

＜m＜2

2

P到AB的距離為d=

|m|

3

，（12分）
則S△PAB=

1

2

|AB|•d=

1

2

(4- 1 2 m2)•3

•

|m|

3

=

1 8 m2(-m2+8)

≤

1 8 ( m2-m2+8 2 )2

=

2

．
當且僅當m=±2∈(-2

2

，2

2

)取等號
∴△PAB面積的最大值為

2

．（14分）