Question

對于函數f(x)，若在其定義域內存在兩個實數a，b(a＜b)，使當x∈[a，b]時，f(x)的值域也是[a，b]，則稱函數f(x)為“布林函數”，區間[a，b]稱為函數f(x)的“等域區間”.
（1）布林函數的等域區間是        .
（2）若函數是布林函數，則實數k的取值范圍是          .

Answer 1

（1）[0,1]；（2）.

試題分析：（1）因為是增函數，則當x∈[a，b]時，f(x)∈[f(a)，f(b)].
令f(a)＝a，且f(b)＝b，即，且，則a＝0，b＝1.
故布林函數的等域區間是[0,1].
（2）

因為是增函數，若是布林函數，則
存在實數a，b(－2≤a＜b)，使，即.所以a，b為方程的兩個實數根，從而方程有兩個不等實根.
令，則.當時，；當時，.
由圖可知，當時，直線與曲線有兩個不同交點，即方程
有兩個不等實根，故實數k的取值范圍是.