Question

已知實數a為(

x

2

-

2

x

)7的展開式中x²的系數，則

∫

-32a 1

(ex-

1

x

)dx=

e⁷-ln⁷-e

．

Answer 1

分析：先求出二項展開式得通項，令x得指數為2求出r，進而求出a，再代入

∫

-32a 1

(ex-

1

x

)dx利用定積分知識求解即可．

解答：解：因為(

x

2

-

2

x

)7的展開式得通項為：T_r+1=

C

r 7

(

x

2

) 7-r•(-

2

x

) r=（-1）^r

C

r 7

•(

1

2

)7-r•2^r•x

7-r

2

•x^-r；
令

7-r

2

-r=2⇒r=1．
∴展開式中x²的系數為：（-1）¹×

C

1 7

•(

1

2

)6•2¹=-

7

32

．
∴a=-

7

32

．
∴

∫

-32a 1

(ex-

1

x

)dx=∫

7 1

（e^x-

1

x

）dx═（e^x-lnx）|

7 1

=（e⁷-ln7）-（e¹-ln1）=e⁷-ln7-e．
故答案為：e⁷-ln7-e．

點評：本題主要考查二項展開式的應用問題．解決問題的關鍵在于熟悉求二項展開式的通項，并會用通項求解特定項．