Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

3

，橢圓上的點到右焦點F的最近距離為2，若橢圓C與x軸交于A、B兩點，M是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線MA交直線l：x=9于G點，直線MB交直線l于H點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試探求以GH為直徑的圓是否恒經過x軸上的定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

3

，橢圓上的點到右焦點F的最近距離為2，建立方程組，求出幾何量，從而可得橢圓C的方程；
（2）記直線MA、MB的斜率分別為k₁、k₂，設M，A，B的坐標分別為M（x₀，y₀），確定k₁•k₂=-

8

9

，進一步確定以GH為直徑的圓的方程，令y=0，可得定點的坐標．

解答：解：（1）由題意得

c a = 1 3 a-c=2

，∴

c=1 a=3

，∴b²=a²-c²=8．
∴橢圓C的方程為：

x2

9

+

y2

8

=1．…（4分）
（2）記直線MA、MB的斜率分別為k₁、k₂，設M，A，B的坐標分別為M（x₀，y₀），A（-3，0），B（3，0），
∴k1=

y0

x0+3

，k2=

y0

x0-3

，∴k1k2=

y02

x 2 0 -9

．
∵P在橢圓上，∴

x02

9

+

y02

8

=1，∴

y

2 0

=8(1-

x 2 0

9

)，∴k₁•k₂=-

8

9

，
設G（9，y₁）H（9，y₂），則k1=kAM=

y1

12

，k2=kMB=

y2

6

．
∴k1k2=

y1y2

72

，又k₁•k₂=-

8

9

．∴

y1y2

72

=-

8

9

，∴y₁y₂=-64．…（8分）
因為GH的中點為Q(9，

y1+y2

2

)，|GH|=|y₁-y₂|，
所以，以GH為直徑的圓的方程為：(x-9)2+(y-

y1+y2

2

)2=

(y1-y2)2

4

．
令y=0，得（x-9）²=-y₁y₂=64，
∴x=1，x=17，將兩點（17，0），（1，0）代入檢驗恒成立．
所以，以GH為直徑的圓恒過x軸上的定點（17，0），（1，0）．…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程與性質，考查圓的方程的確定，綜合性強，屬于中檔題．