Question

下列關于函數f(x)=

1+x2 +x-1

1+x2 +x+1

的五個結論：
①函數f（x）的定義域是R
②函數f（x）的值域是（-1，1）
③函數f（x）是奇函數
④函數f（x）在R上是單調增函數
⑤函數f（x）有極值
其中正確結論的序號是

①②③④

．

Answer 1

分析：首先求出函數的定義域，依據函數性質對五個結論逐一進行判斷，可以得到正確的結論．

解答：解：由于函數f(x)=

1+x2 +x-1

1+x2 +x+1

的分母恒不為0，則函數f（x）的定義域是R，故①為真命題；
由于f（x）=

1+x2 +x+1-2

1+x2 +x+1

=1-

2

1+x2 +x+1

，則函數f（x）的值域是（-1，1），故②為真命題；
由于f（-x）=

1+x2 -x-1

1+x2 -x+1

=

1- 1+x2

x

，-f（x）=-

1+x2 +x-1

1+x2 +x+1

=

1- 1+x2

x

，f（0）=0，則函數f（x）是奇函數，故③為真命題；
由于函數f(x)=

1+x2 +x-1

1+x2 +x+1

=

x

x2+1 +1

，則f′（x）＞0恒成立，故函數f（x）在R上是單調增函數，函數f（x）沒有極值，故④為真命題；⑤為假命題．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，函數的定義域及其求法，函數的值域和函數的零點，考查學生運用數學知識解決實際問題的能力．