Question

在△ABC中，已知P為中線AD的中點．過點P作一直線分別和邊AB、AC交于點M、N，設

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，
（Ⅰ）求證：△ABC的面積S△ABC=

1

2

BA•BC•sinB；
（Ⅱ）求當x+y=

4

3

時，求△AMN與△ABC的面積比．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過對當∠B是直角時，當∠B不是直角時，過A作直線BC的垂線，垂足為H，若∠B是銳角，若∠B是鈍角，分別證明△ABC的面積S△ABC=

1

2

BA•BC•sinB；
（Ⅱ）由D為BC的中點，P為AD的中點，通過

MP

=

AP

-

AM

，

MN

=

AN

-

AM

=x

AB

-y

AC

，利用

MN

∥

MP

知，存在實數λ，使得

MP

=λ

MN

，得到x+y=

4

3

，xy=

1

3

，由（Ⅰ）求出

S△AMN

S△ABC

的值．

解答：證明：（Ⅰ）：當∠B是直角時，S_△ABC=

1

2

BA•BC=

1

2

BA•BC•sinB，結論成立，
當∠B不是直角時，過A作直線BC的垂線，垂足為H，
若∠B是銳角，則AH=AB•sinB，∴S_△ABC=

1

2

AH•BC=

1

2

BA•BC•sinB，
若∠B是鈍角，則AH=AB•sin（π-B）=AB•sinB∴S_△ABC=

1

2

AH•BC=

1

2

BA•BC•sinB．
綜上所述，S_△ABC=

1

2

BA•BC•sinB的結論成立．------------------（6分）
（Ⅱ）因為D為BC的中點，P為AD的中點，∴

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，

AP

=

1

2

AD

，∴

AP

=

1

4

(

AB

+

AC

）--------（8分）
∴

MP

=

AP

-

AM

=

1

4

(

AB

+

AC

)-x

AB

=(

1

4

-x)

AB

+

1

4

AC

MN

=

AN

-

AM

=x

AB

-y

AC

，
有

MN

∥

MP

知，存在實數λ，使得

MP

=λ

MN

，
可得

x

4

+

y

4

=xy，又x+y=

4

3

，xy=

1

3

，-----------------（13分）
由（Ⅰ）知

S△AMN

S△ABC

=

1 2 |AM|•|AN|•sinA

1 2 |AB|•|AB|•sinA

=

|AM|

|AB|

•

|AN|

|AC|

=xy=

1

3

．-----------------（16分）

點評：本題考查向量的基本運算，分類討論的思想，三角形的面積的求法，向量之間的轉化是解題的關鍵，考查計算能力．