Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形∠ACB=90°，AC=2a，D，E分別為AC，AB的中點，沿DE將△ADE折起，得到如圖所示的四棱錐A′-BCDE
（Ⅰ）在棱A′B上找一點F，使EF∥平面A′CD；
（Ⅱ）當四棱錐A'-BCDE體積取最大值時，求平面A′CD與平面A′BE夾角的余弦值．

Answer 1

（I）當F為棱A'B的中點時，EF∥平面A′CD．證明如下：
取A'C的中點G，連結DG、EF、GF，則
由中位線定理得DE∥BC、DE=

1

2

BC，且F∥BC、GF=

1

2

BC．
∴DE∥GF且DE=GF，可得四邊形DEFG是平行四邊形，
∴EF∥DG
∵EF?平面A'CD，DG?平面A'CD，∴EF∥平面A′CD
因此，當F為棱A'B的中點時，EF∥平面A′CD．----（4分）
（II）在平面A′CD內作A'H⊥CD于點H，
∵DE⊥A'D，DE⊥CD，且A'D∩CD=D
∴DE⊥平面A'CD，可得A'H⊥DE，
又∵DE∩CD=D，∴A'H⊥底面BCDE，即A'H就是四棱錐A'-BCDE的高．
由A'H≤AD，得點H和D重合時，四棱錐A'-BCDE體積取最大值．--（8分）
分別以DC、DE、DA'所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖，
則A'（0，0，a），B（a，2a，0），E（0，a，0），
∴

A′B

=（a，2a，-a），

A′E

=（0，a，-a），
設平面A'BE的一個法向量為

m

=（x，y，z），
由

m • A′B =ax+2ay-az=0 m • A′E =ay-az=0

得

x+2y-z=0 y=z

取y=1，得x=-1，z=1．得到

m

=（-，1，1），
同理，可求得平面A'CD的一個法向量

n

=（0，1，0）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m| • |n|

=

-1×0+1×1+1×0

3 ×1

=

3

3

故平面A'CD與平面A'BE夾角的余弦值為

3

3

綜上所述，四棱錐A'-BCDE體積取最大值時，平面A′CD與平面A′BE夾角的余弦值等于

3

3

----（12分）