Question

【題目】如圖1，在高為2的梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=5，過A、B分別作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別為E、F．已知DE=1，將梯形ABCD沿AE、BF同側折起，得空間幾何體ADE﹣BCF，如圖2．
（Ⅰ）若AF⊥BD，證明：△BDE為直角三角形；
（Ⅱ）若DE∥CF， ，求平面ADC與平面ABFE所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：證明：連接BE， 由已知可知四邊形ABFE是正方形，∴AF⊥BE，
又AF⊥BD，BE∩DE=E，
∴AF⊥平面BDE，又DE平面BDE，
∴AF⊥DE，
又DE⊥AE，AE∩AF=F，
∴DE⊥平面ABFE，又BE平面ABFE，
∴DE⊥BE，即△BDE為直角三角形．
（Ⅱ）取CF的中點M，連結DM，則四邊形DEFM是平行四邊形，
∴DM=EF=2，CM= CF=1，又CD= ，
∴cos∠CMD= = ，即∠CMD=∠CFE=60°，
過E作EG⊥EF，則EG⊥平面ABFE，
以E為原點，以EA，EF，EG為坐標軸建立空間直角坐標系，
則A（2，0，0），C（0，1， ），D（0，﹣ ， ），
∴ =（﹣2，1， ）， =（﹣2，﹣ ， ），
設平面ACD的法向量為 =（x，y，z），則 ，
即 ，令z= 得 =（1，﹣1， ），
又GE⊥平面ABFE，∴ =（0，0，1）是平面ABFE的一個法向量，
∴cos＜ ＞= = = ，
由圖形可知平面ADC與平面ABFE所成角為銳二面角，
∴平面ADC與平面ABFE所成角的余弦值為 ．

【解析】（1）由AF⊥BE，AF⊥BD可得AF⊥平面BFE，得出AF⊥DE，結合DE⊥AE即可得出DE⊥平面ABFE，故而DE⊥BE；（2）求出∠CFE的大小，以E為原點建立空間坐標系，求出平面ACD和平面ABFE的法向量，計算兩法向量的夾角即可得出二面角的大小．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質的相關知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．