Question

用0、1、2、3、4、5六個數字組成無重復數字的四位數，問：（1）偶數有多少個？（2）大于3125的有多少個？（以數字作答）

Answer 1

分析：（1）當末位是數字0時，可以組成A₅³個數字；當末位不是0時，末位可以是2，4，有兩種選法，首位有4種選法，中間兩位可以從余下的4個數字中選兩個，共有C₂¹C₄¹A₄²種結果，
根據計數原理得到結果．
（2）把滿足條件的無重復數字的四位數分成3類：①當千位是3，百位是1的；②當千位是3，百位不是1的；③千位是4或5的．求出每一類的無重復數字的四位數的個數，
相加即得所求．

解答：解：（1）本題需要分類來解，
當末位是數字0時，可以組成A₅³=60個，
當末位不是0時，末位可以是2，4，有兩種選法，
首位有4種選法，中間兩位可以從余下的4個數字中選兩個，共有C₂¹C₄¹A₄²=96種結果，
根據分類計數原理知共有60+96=156種結果，
（2）把滿足條件的無重復數字的四位數分成3類：
當千位是3，百位是1時，十位應從4或5中選一個，有2種方法；個位從剩下的3個數中任選一個，有3種方法，根據分布計數原理，這樣的數共有2×3=6個．
當千位是3，百位不是1時，百位只能從2、4、5中選一個，個位和個位任意選，這樣的數共有C₃¹•A₄²=36個．
當千位是4或5時，其它的位任意選，共有C₂¹•A₅³=120個．
根據分類計數原理，大于3125的有6+36+120=162個．

點評：本題主要考查排列、組合以及簡單計數原理的應用，體現了分類討論的數學思想．數字問題是排列中經常見到問題，條件變換多樣，把排列問題包含在數字問題中，解題的關鍵是看清題目的實質，注意數字0的雙重限制，即可在最后一位構成偶數，又不能放在首位．