Question

下列命題：①已知函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，且f（a）f（b）＜0，則y=f（x）在[a，b]上零點個數一定為1個；
②定義在R上的奇函數f（x）必滿足f（0）=0；
③f（x）=（2x+1）²-2（2x-1）既不是奇函數又不是偶函數；
④A=R，B=R，f：x→y=

1

x+1

，則f為A到B的映射；
⑤f(x)=

1

x

在定義域上是減函數．
其中真命題的序號是

 

（把你認為正確的命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：逐一檢驗各個選項的正確性，通過給變量取特殊值，舉反例可以排除某些選項．

解答：解：①不正確，如f（x）=x（x-1）（x-2）在區[-1，3]上上連續，且f（-1）f（3）＜0，f（x）在[-1，3]上的零點
有3個，零點個數為 3．
②正確，按照奇函數的定義，f（0）=f（-0）=-f（0），∴2f（0）=0，故 f（0）=0．
③不正確，∵f（x）=（2x+1）²-2（2x-1）=4x²-1，定義域為R，關于原點對稱，f（-x）=f（x），
是一個偶函數．
④不正確，因為前一個集合中的-1在后一個集合中沒有元素與之對應，故不是映射．
⑤不正確，因為當x=-1時 y=-1，當 x=1 時，y=1，1＞-1，故 y=

1

x

 在其定義域內不是減函數．
綜上，只有②正確，
故答案為②．

點評：本題考查函數零點的個數判斷、映射的定義、函數的單調性的判斷、函數的奇偶性和單調性，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．