Question

已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定義函數f：M→N且點A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））；若△ABC 的內切圓圓心為D，且

.

DA

+

.

DC

=λ

.

DB

(λ∈R)，則下列結論正確的有

①③④

．（填上你認為正確的命題的序號）
①△ABC必是等腰三角形； 
②△ABC必是直角三角形；
③滿足條件的實數λ有3個； 
④滿足條件的函數有l2個．

Answer 1

分析：由

DA

+

DC

=λ

DB

(λ∈R)，說明△ABC是等腰三角形，f（1）=f（3）；M和N以即函數的理解，分類乘法計數原理的應用

解答：解：在AC上取中點E，則可得

DA

+

DC

=2

DE

且DE平分AC
由

DA

+

DC

=λ

DB

(λ∈R)，
∴B，D，E三點共線
∵BD是∠ABC的平分線
∴BE垂直平分AC，DA=DC
∴△ABC是等腰三角形，且BA=BC，故①正確②不正確
必有f（1）=f（3），f（1）≠f（2）；
①當f（1）=f（3）=1時，f（2）=2、3、4，三種情況．
②f（1）=f（3）=2；f（2）=1、3、4，有三種．
③f（1）=f（3）=3；f（2）=2、1、4，有三種．
④f（1）=f（3）=4；f（2）=2、3、1，有三種．
因而滿足條件的函數f（x）有12種．故④正確
由以上情況的討論可知，A，B，C的坐標情況如下
A（1，1），B（2，2），C（3，1），AB=

2

，AC=2；A（1，1），B（2，3），C（3，1），AB=

5

，AC=2；A（1，1），B（2，4），C（3，1），AB=

10

，AC=2；A（1，2），B（2，1），C（3，2），AB=

2

，AC=2；A （1，2），B（2，3），C（3，2），
AB=

2

，AC=2；A（1，2），B（2，4），C（3，2），AB=

10

，AC=2；A（1，3），B（2，2），C（3，3），AB=

2

，AC=2；
A（1，3），B（2，1），C（3，3），AB=

5

，AC=2；A（1，3），B（2，4），C（3，3），AB=

2

，AC=2；A（1，4），B（2，2），C（3，4），AB=

5

，AC=2；A（1，4），B（2，3），C（3，4），AB=

2

，AC=2；A（1，4），B（2，1），C（3，4），AB=

10

，AC=2
∵BE垂直平分AC，DA=DC
∴

DA

+

DC

=2

DE

由角平分線性質可得，

|BD|

|DE|

=

|AB|

|AE|

=

2|AB|

|AC|

，根據以上情況可求得λ有3個情況，故③正確
故答案為：①③④

點評：本題主要考查了向量、三角形的轉化，函數的定義；△ABC是等腰三角形，且BA=BC得到f（1）=f（3），是解本題的關鍵．