Question

已知曲線C：y=x³-3x²+2x
（1）求曲線C上斜率最小的切線方程．
（2）過原點引曲線C的切線，求切線方程及其對應的切點坐標．

Answer 1

分析：（1）求出曲線解析式的導函數，發現為一個二次函數，配方后當x=1時，即可求出二次函數的最小值，即導函數的最小值，即為切線方程斜率的最小值，然后把x=1代入曲線方程求出對應的y值，確定出確定的坐標，由切點坐標和斜率寫出切線方程即可；
（2）設出切點的坐標，代入曲線方程得到一個等式，代入導函數中得到切線方程的斜率，由設出的一點和表示出的斜率表示出切線方程，把原點坐標代入切線方程，即可求出切點的橫坐標，把求出的切點橫坐標代入化簡得到的等式即可求出切點的縱坐標，從而確定出切點坐標，把求出的切點橫坐標代入導函數中即可求出相應的切線方程的斜率，由切點坐標和斜率寫出切線方程即可．

解答：解：（1）y'=3x²-6x+2=3（x-1）²-1，
所以，x=1時，y'有最小值-1，（3分）
把x=1代入曲線方程得：y=0，所以切點坐標為（1，0），
故所求切線的斜率為-1，其方程為：y=-x+1．            
（2）設切點坐標為M（x₀，y₀），則y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，
切線的斜率為3x₀²-6x₀+2，
故切線方程為y-y₀=（3x₀²-6x₀+2）（x-x₀），（9分）
因為切線過原點，所以有-y₀=（3x₀²-6x₀+2）（-x₀），
即：x₀³-3x₀²+2x₀=x₀（3x₀²-6x₀+2），
解之得：x₀=0或x0=

3

2

．                                  
所以，切點坐標為M（0，0）或M(

3

2

，-

3

8

)，
相應的切線方程為：y=2x或y+

3

8

=-

1

4

(x-

3

2

)
即切線方程為：2x-y=0或x+4y=0．

點評：此題考查了利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，導數的幾何意義，要求學生掌握求導法則，直線與曲線相切的性質，及待定系數法的靈活運用．