Question

已知點(diǎn)P（-3，0），點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，且

PA

•

AQ

=0，

QM

=2

AQ

．當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)Q（a，0），A（0，b），M（x，y）是曲線上任意一點(diǎn)，由

PA

•

AQ

=0建立關(guān)系式得到3a²-b²=0．由等式

QM

=2

AQ

解出a、b關(guān)于x、y的表達(dá)式，代入前一個(gè)式子化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：解：設(shè)Q（a，0），A（0，b），M（x，y）是曲線上任意一點(diǎn)，則

PA

=(3，b)，

AQ

=(a，-b)，

QM

=(x-a，y)，（4分）
∴

PA

•

AQ

=3a-b2=0…①，（6分）
∵

QM

=2

AQ

，可得

x-a=2a y=-2b

∴

a= x 3 b=- y 2

…②（8分）
將②代入①，化簡(jiǎn)得y²=4x．    （10分）
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y²=4x．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．著重考查了向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積和動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．