Question

平面直角坐標系中，過原點O的直線l與曲線y=e^x-1交于不同的A，B兩點，分別過點A，B作y軸的平行線，與曲線y=lnx交于點C，D，則直線CD的斜率是

1

．

Answer 1

分析：設直線l的方程為y=kx（k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），則直線CD的斜率k_CD=

lnx2-lnx1

x2-x1

，根據A、B為直線l與曲線y=e^x-1交點可得kx₁=ex1-1，kx2=ex2-1，兩邊取對數后代人斜率公式即可求得答案．

解答：解：設直線l的方程為y=kx（k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），
則C（x₁，lnx₁），D（x₂，lnx₂），
所以kx₁=ex1-1⇒x₁-1=lnkx₁，kx2=ex2-1⇒x₂-1=lnkx₂，
所以直線CD的斜率k_CD=

lnx2-lnx1

x2-x1

=

ln x2 x1

(lnkx2+1)-(lnkx1+1)

=

ln x2 x1

lnkx2-lnkx1

=

ln x2 x1

ln x2 x1

=1，
故答案為：1．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及直線斜率的求解，考查數形結合思想及學生計算能力、解決問題的能力．