Question

（1）過點P（-3，0）且傾斜角為30°的直線l和曲線C：

x=s+ 1 s y=s- 1 s

（s為參數）相交于A，B兩點，求線段AB的長．
（2）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x²+y²+z²=1的一切實數x，y，z恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）寫出直線的參數方程，代入曲線方程得到關于s 的一元二次方程，利用根與系數的關系，代入弦長公式求得 AB的長．
（2）不等式|a-1|≥x+2y+2z恒成立，只要|a-1|≥（x+2y+2z）max，利用柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²求出x+2y+2z的最大值，再解關于a的絕對值不等式即可．

解答：解：（1）解：直線的參數方程為 

x = -3 +  3 2 s y =  1 2 s

   （s 為參數），曲線

x=s+ 1 s y=s- 1 s

可以化為  x²-y²=4．
將直線的參數方程代入上式，得  s2-6

3

s+ 10 = 0．
設A、B對應的參數分別為 s₁，s₂，∴s1+  s2= 6 

3

，s₁•s₂=10．
∴AB=|s₁-s₂|=

(s1- s2)2-4s1s2

=2

17

．
（2）解：由柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²
即x+2y+2z≤3，當且僅當

x 1 = y 2 = z 2 ＞0 x2+y2+z2=1

即 x=

1

5

，y=

2

5

，z=

2

5

時，x+2y+2z取得最大值3．
∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x²+y²+z²=1的一切實數x，y，z恒成立，
只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，∴a≥4或∴a≤-2．
即實數的取值范圍是（-∞，-2]∪[4，+∞）．
故答案為：a≥4或a≤-2．

點評：本題考查柯西不等式的應用、直線的參數方程，一元二次方程根與系數的關系，弦長公式的應用，利用 AB=|s₁-s₂|=

(s1- s2)2-4s1s2

 是解題的關鍵．