Question

【題目】如圖，已知橢圓：的離心率為，長軸長為4，、分別是橢圓的左、右頂點，過右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）記、的面積分別為、，若，求的值；

（Ⅲ）設線段的中點為，直線與直線相交于點，記直線、、的斜率分別為、、，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根據長軸長、離心率和橢圓關系可求得，進而得到橢圓方程；

（Ⅱ）由面積比可得到，由此利用表示出，根據兩點在橢圓上，代入整理求得，進而得到所求斜率；

（Ⅲ）利用點差法可求得，求得點坐標后可得到；將直線方程與橢圓方程聯立后可求得坐標，由三點共線可整理得到，進而得到；將上述三個關系式代入整理可得最終結果.

（Ⅰ）設橢圓的焦距為，

橢圓長軸長為，即，，

又，，，橢圓的標準方程為；

（Ⅱ）設點，.

，，又，，，

，代入坐標可得：，即，

又點、在橢圓上，，解得：，

直線的斜率；

（Ⅲ）點，在橢圓上，，

兩式相減得：，即，

，即，直線的方程為，

令得：，即，，

又直線的方程為，

與橢圓聯立整理得：，

，解得：，，

點的坐標為，同理可得：點的坐標為.

又點、、三點共線，，

整理得：，

由題意知：，，，

由可得：，即.

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