Question

2、設集合I={1，2，3，4，5}．選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數大于A中最大的數，則不同的選擇方法共有（　　）

A、50種

B、49種

C、48種

D、47種

Answer 1

分析：解法一，根據題意，按A、B的元素數目不同，分9種情況討論，分別計算其選法種數，進而相加可得答案；
解法二，根據題意，B中最小的數大于A中最大的數，則集合A、B中沒有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素數目這和的情況，分4種情況討論，分別計算其選法種數，進而相加可得答案．

解答：解：
解法一，若集合A、B中分別有一個元素，則選法種數有C₅²=10種；
若集合A中有一個元素，集合B中有兩個元素，則選法種數有C₅³=10種；
若集合A中有一個元素，集合B中有三個元素，則選法種數有C₅⁴=5種；
若集合A中有一個元素，集合B中有四個元素，則選法種數有C₅⁵=1種；
若集合A中有兩個元素，集合B中有一個元素，則選法種數有C₅³=10種；
若集合A中有兩個元素，集合B中有兩個個元素，則選法種數有C₅⁴=5種；
若集合A中有兩個元素，集合B中有三個元素，則選法種數有C₅⁵=1種；
若集合A中有三個元素，集合B中有一個元素，則選法種數有C₅⁴=5種；
若集合A中有三個元素，集合B中有兩個元素，則選法種數有C₅⁵=1種；
若集合A中有四個元素，集合B中有一個元素，則選法種數有C₅⁵=1種；
總計有49種，選B．
解法二：集合A、B中沒有相同的元素，且都不是空集，
從5個元素中選出2個元素，有C₅²=10種選法，小的給A集合，大的給B集合；
從5個元素中選出3個元素，有C₅³=10種選法，再分成1、2兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有2×10=20種方法；
從5個元素中選出4個元素，有C₅⁴=5種選法，再分成1、3；2、2；3、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有3×5=15種方法；
從5個元素中選出5個元素，有C₅⁵=1種選法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有4×1=4種方法；
總計為10+20+15+4=49種方法．選B．

點評：本題考查組合數公式的運用，注意組合與排列的不同，進而區別運用．