Question

以下命題：
①若|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|，則

a

∥

b

；
②

a

=（-1，1）在

b

=（3，4）方向上的投影為

1

5

；
③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，則

BC

•

CA

=20；
④若非零向量

a

、

b

滿足|

a

+

b

|=|

b

|，則|2

b

|＞|

a

+2

b

|．
⑤已知△ABC中，

PN

=

1

3

（

PA

+

PB

+

PC

）則向量λ（

AB

+

AC

）（λ≠0）所在直線必過N點．其中所有真命題的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：①由|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|，知cos＜

a

，

b

＞=±1，由此能判斷①的正誤；
②

a

=（-1，1）在

b

=（3，4）方向上的投影為|

a

|•cos＜

a

，

b

＞，由此能判斷②的正誤；
③若△ABC中，由a=5，b=8，c=7，知cos∠ACB=

1

2

，由

BC

•

CA

=|

BC

|•|

CA

|•（-cos∠ACB）能求出結果；
④由|

a

+2

b

|=|

a

+

b

+

b

|≤|

a

+

b

|+|

b

|=2|

b

|，能推導出|2

b

|＞|

a

+2

b

|；
⑤△ABC中，設A（0，1），B（2，4）C（6，1），P（x，y），利用特值法能得到向量λ（

AB

+

AC

）（λ≠0）所在直線不一定過N點．

解答：解：①若|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|，則cos＜

a

，

b

＞=±1，
∴

a

∥

b

，故①正確；
②

a

=（-1，1）在

b

=（3，4）方向上的投影為|

a

|•cos＜

a

，

b

＞=

2

×

-3+4

2 ×5

=

1

5

，故②正確；
③若△ABC中，∵a=5，b=8，c=7，
∴cos∠ACB=

64+25-49

2×5×8

=

1

2

，
∴

BC

•

CA

=|

BC

|•|

CA

|•（-cos∠ACB）=5×8×（-

1

2

）=-20，故③不正確；
④∵|

a

+2

b

|=|

a

+

b

+

b

|≤|

a

+

b

|+|

b

|=2|

b

|，
∵

a

，

b

是非零向量，
∴必有

a

+

b

≠

b

，
∴上式中等號不成立．
∴|2

b

|＞|

a

+2

b

|，故④正確；
⑤△ABC中，設A（0，1），B（2，4）C（6，1），P（x，y），
λ（

AB

+

AC

）=λ[（2，3）+（6，0）]=λ（8，3）=（8λ，3λ），
∵

PN

=

1

3

（

PA

+

PB

+

PC

），
∴（x2-x，y2-y ）=

1

3

（8-3x，6-3y）=（

8

3

-x，2-y），
∴N（

8

3

，2）．
∴向量λ（

AB

+

AC

）（λ≠0）所在直線不一定過N點，故⑤不正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查命題的真假判斷，是基礎題．解題時要認真審題，注意平面向量知識的合理運用．