Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，且.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）先根據計算得線線線線垂直，再根據線面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得結論，（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角.

（1）證明：取中點，連結，，，

因為底面為菱形，，所以 ．

因為為的中點，所以．

在△中，， 為的中點，所以．

設,則，，

因為，所以．

在△中，，為的中點，所以．

在△ 和△ 中，因為，，，

所以△ △ ．

所以．所以．

因為，平面，平面，

所以平面．

因為平面，所以平面平面．

（2）因為，，，平面，平面，

所以平面．所以．

由（1）得，，所以，，所在的直線兩兩互相垂直．

以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

設，則，，，，

所以，，，

設平面的法向量為，

則 令，則，，所以．

設平面的法向量為，

則 令，則，，所以．

設二面角為，由于為銳角，

所以 ．

所以二面角的余弦值為．