Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥側面AA₁C₁C，AC=BC=1，CC₁=2， ∠CAA₁= ，D、E分別為AA₁、A₁C的中點．

（1）求證：A₁C⊥平面ABC；（2）求平面BDE與平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

（1）通過余弦定理來證明AC⊥A₁C，以及結合題目中的BC⊥A₁C來得到證明。
（2）

試題分析：解：（1）證明：∵BC⊥側面AA₁C₁C，A₁C在面AA₁C₁C內，∴BC⊥A₁C．  2分
在△AA₁C中，AC=1，AA₁=C₁C=2，∠CAA₁=，
由余弦定理得A₁C²=AC²+-2AC•AA₁cos∠CAA₁=1²+2²-2×1×2×cos=3， 
∴A₁C=   ∴AC²+A₁C²=AA₁²   ∴AC⊥A₁C                 5分
∴A₁C⊥平面ABC．                                            6分
（2）由（Ⅰ）知，CA，CA₁，CB兩兩垂直
∴如圖，以C為空間坐標系的原點，分別以CA，CA₁，CB所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則C(0，0，0)，B(0，0，1)，A(1，0，0)，A₁(0，，0)
由此可得D(，，0)，E(0，，0)，=（，，-1），=(0，，-1)．
設平面BDE的法向量為=(x，y，z)，則有令z=1，則x=0，y=
∴=(0，，1)          9分
∵A₁C⊥平面ABC   ∴=(0，，0)是平面ABC的一個法向量        10分
∴    
∴平面BDE與ABC所成銳二面角的余弦值為．       12分
點評：主要是考查了空間中線面位置關系，以及二面角的平面角的求解的綜合運用，屬于中檔題。