Question

已知變量x和y滿足約束條件

x-y+1≥0 x+y-3≤0 y≥1

．
（1）求z=4x+2y的最大值；
（2）求k=

y+2

x+1

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據約束條件畫出可行域，設z=4x+2y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=4x+2y過可行域內的點C時，從而得到z值即可．
（2）明確目標函數幾何意義，目標函數表示動點（x，y）與定點P（-1，-2）連線斜率，過P做直線與可行域相交可計算出直線斜率，從而得出所求目標函數范圍．

解答：解：（1）作出可行域如圖．（3分）
將z=4x+2y變形為y=-2x+

z

2

，
可知直線過點C時z取得最大值．
由

y=1 x+y-3=0

得C（2，1）（5分）
即x=2且y=1時，z_max=10．（6分）
（2）k=

y+2

x+1

表示可行域內任一點（x，y）與定點P（-1，-2）連線的斜率．（7分）
由圖可知，k_PC≤k≤k_PB．
由

y=1 x-y+1=0

得B（0，1）．
∴k_PC=1，k_PB=3，故k的取值范圍是[1，3]．（10分）

點評：本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．目標函數有唯一最優解是最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關鍵點、定出最優解．