Question

已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F₁(-3,0),一條漸近線的方程是x-2y=0.

(1)求雙曲線C的方程;

(2)若以k(k≠0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M,N,且線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為,求k的取值范圍.

Answer 1

本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點等基礎知識,考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法,考查推理、運算能力.

解:(1)設雙曲線C的方程為-=1(a＞0,b＞0).

由題設得.解得

所以雙曲線C的方程為-=1.

(2)設直線l的方程為y=kx+m(k≠0),

點M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)的坐標滿足方程組

將①式代入②式,得=1,

整理得(5-4k²)x²-8kmx-4m²-20=0.

此方程有兩個不等實根,于是5-4k²≠0,且Δ=(-8km)²+4(5-4k²)(4m²+20)＞0.

整理得m²+5-4k²＞0.③

由根與系數的關系可知線段MN的中點坐標(x₀,y₀)滿足

x₀=,y₀=kx₀+m=.

從而線段MN的垂直平分線的方程為y.

此直線與x軸,y軸的交點坐標分別為(,0),(0,).

由題設可得||·||=.

整理得m²=,k≠0.

將上式代入③式得+5-4k²＞0,

整理得(4k²-5)(4k²-|k|-5)＞0,k≠0.

解得0＜|k|＜或|k|＞.

所以k的取值范圍是(-∞,-)∪(,0)∪(0,)∪(,+∞).