Question

（本題滿分12分）設函數f (x) = (b，c∈N^*)，若方程f(x) = x的解為0，2，且f (–2)＜–．（Ⅰ）試求函數f(x)的單調區間；（Ⅱ）已知各項不為零的數列{a_n}滿足4S_n·f () = 1，其中S_n為{a_n}的前n項和．求證：．

Answer 1

(Ⅰ) f(x)的單調遞增區間為（–∞，0），（2，+∞）單調遞減區間為（0，1），（1，2）(Ⅱ) 略

解析:

（Ⅰ）解

．------（2分）

由f (–2) =又∵b，c∈N^*    ∴c = 2，b = 2

∴f (x) =．-------（4分）

令f′(x)＞0得：x＜0或x＞2， 令f′(x)＜0得：0＜x＜2∴f(x)的單調遞增區間為（–∞，0），

（2，+∞）f(x)的單調遞減區間為（0，1），（1，2）--------（6分）

（Ⅱ）證明：由已知可得：2S_n = a_n – ， 

兩式相減得：(a_n + a_{n – 1}) (a_n – a_{n – 1}+1) = 0 （n≥2）∴a_n = –a_{n –1}或a_n –a_n–1 = –1  -（7分）

當n =1 時，2a₁ = a₁ –

若a_n = –a_n–1，則a₂ = –a₁ = 1與a_n≠1矛盾．（定義域要求a_n≠1）∴a_n – a_n–1 = 1，∴a_n = –n．（8分）

要證的不等式轉化為

先證不等式令g (x) = x –ln(1 + x)，h(x) = ln(x +1) –-----（10分）

則g′(x) =，h′(x) =∵x＞0   ∴g′(x)＞0，h′(x)＞0∴g (x)， h(x)在（0，+∞）上單調遞增，

 ∴g (x)＞g (0) = 0，h(x)＞h(0) = 0   ∴。

 故，即-----（12分）