Question

已知函數(shù)f(x)=

1+lnx

x

（1）若k＞0且函數(shù)f（x）在區(qū)間（k，k+

3

4

）上存在極值，求實數(shù)k的取值范圍
（2）如果存在x∈[2，+∞），使得不等式f(x)≤

a

x+2

成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f′(x)=

-lnx

x2

=0，得x=1，再由

k＜1 k＞0 k+ 3 4 ＞0

，能求出實數(shù)k的取值范圍．
（2）a≥

(x+2)(1+lnx)

x

=（1+

2

x

）（1+lnx），設(shè)g（x）=（1+

2

x

）（1+lnx），則g′(x)=

x-2lnx

x2

，再設(shè)h（x）=x-2lnx，則h（x）增，h（x）≥h（2）＞0，坆g′（x）＞0，g（x）增．由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

1+lnx

x

，
∴f′(x)=

1+lnx

x

，
由f′(x)=

-lnx

x2

=0，得x=1，
由條件

k＜1 k＞0 k+ 3 4 ＞1

，
解得

1

4

＜k＜1．
（2）∵a≥

(x+2)(1+lnx)

x

=（1+

2

x

）（1+lnx），
設(shè)g（x）=（1+

2

x

）（1+lnx），
g′(x)=

x-2lnx

x2

，
再設(shè)h（x）=x-2lnx，h′(x)=1-

2

x

≥0，
∴h（x）增，h（x）≥h（2）＞0，
∴g′（x）＞0，g（x）增．
∴g（x）≥g（2）=2（1+ln2），
∴a≥2+2ln2．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運算求解能力，考查論證推理能力，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．