Question

定理：三角形的外心O、重心G、垂心H依次在同一條直線（歐拉線）上，且

OG

=

1

3

OH

，其中外心O是三條邊的中垂線的交點，重心G是三條邊的中線的交點，垂心H是三條高的交點．如圖，在△ABC中，AB＞AC，AB＞BC，M是邊BC的中點，AH⊥BC（N是垂足），O是外心，G是重心，H是垂心，OM=1，則根據定理可求得

OG

•

HN

的最大值是

1

12

．

Answer 1

分析：以M為坐標原點，建立平面直角坐標系，根據已知逐一求出O，A，G，H，N及向量

OG

和

HN

的坐標，代入向量數量積的坐標公式，進而根據二次函數的圖象和性質，求出

OG

•

HN

的最大值

解答：解：以M為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示：
∵OM=1，故O點的坐標為（0，1）
設A點坐標為（3x，3y），則N點坐標為（3x，0），
∵△ABC中，AB＞AC，故x＞0，y＞0
由G為△ABC的重心，故G點坐標為（x，y）
則

OG

=（x，y-1）
又∵

OG

=

1

3

OH

，
∴

OH

=（3x，3y-3），故H點的坐標是（3x，3y-2）
則

HN

=（0，2-3y）
則

OG

•

HN

=（x，y-1）（0，2-3y）=-3y²+5y-2
故當y=

5

6

時，

OG

•

HN

取最大值

1

12

故答案為：

1

12

點評：本題考查的知識點是向量在幾何中的應用，其中建立坐標系，將問題轉化為求二次函數的最值問題是解答的關鍵．