Question

已知函數?(x)=

a

x+1

，a為正常數．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=

9

2

，求函數f（x）的單調增區間；
（2）在（1）中當a=0時，函數y=f（x）的圖象上任意不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為C（x₀，y₀），記直線AB的斜率為k，試證明：k＞f'（x₀）．
（3）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意的x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意先把f（x）的解析式具體，然后求其導函數，令導函數大于0，解出的即為函數的增區間；
（2）對于當a=0時，先把f（x）=lnx具體出來，然后求導函數，得到f′（x₀），在利用斜率公式求出過這兩點的斜率公式，利用構造函數并利用構造函數的單調性比較大小；
（3）因為g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意的x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，先寫出g（x）的解析式，利用該函數的單調性把問題轉化為恒成立問題進行求解．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

=

x2+(2-a)x+1

x(x+1)2

∵a=

9

2

，令f'（x）＞0得x＞2或0＜x＜

1

2

∴函數f（x）的單調增區間為(0，

1

2

)，(2，+∞)；

（2）證明：當a=0時f（x）=lnx
∴f′(x)=

1

x

∴f′(x0)=

1

x0

=

2

x1+x2

又k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

=

ln x2 x1

x2-x1

不妨設x₂＞x₁，要比較k與f'（x₀）的大小，
即比較

ln x2 x1

x2-x1

與

2

x1+x2

的大小，
又∵x₂＞x₁，
∴即比較ln

x2

x1

與

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

的大小．
令h(x)=lnx-

2(x-1)

x+1

(x≥1)，
則h′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

≥0
∴h（x）在[1，+∞）上是增函數．
又

x2

x1

＞1，
∴h(

x2

x1

)＞h(1)=0，
∴ln

x2

x1

＞

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

，
即k＞f'（x₀）；

（3）∵

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，
∴

g(x2)+x2-[g(x1)+x1]

x2-x1

＜0
由題意得F（x）=g（x）+x在區間（0，2]上是減函數．
1°當1≤x≤2，F(x)=lnx+

a

x+1

+x，
∴F′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

+1
由F′(x)≤0?a≥

(x+1)2

x

+(x+1)2=x2+3x+

1

x

+3在x∈[1，2]恒成立．
設m（x）=x2+3x+

1

x

+3，x∈[1，2]，則m′(x)=2x-

1

x2

+3＞0
∴m（x）在[1，2]上為增函數，
∴a≥m(2)=

27

2

2°當0＜x＜1，F(x)=-lnx+

a

x+1

+x，
∴F′(x)=-

1

x

-

a

(x+1)2

+1
由F′(x)≤0?a≥-

(x+1)2

x

+(x+1)2=x2+x-

1

x

-1在x∈（0，1）恒成立
設t（x）=x2+x-

1

x

-1，x∈（0，1）為增函數
∴a≥t（1）=0
綜上：a的取值范圍為a≥

27

2

．

點評：此題考查了利用導函數求函數的單調地增區間，還考查了構造函數并利用構造的函數的單調性把問題轉化為恒成立的問題，重點考查了學生的轉化的思想及構造的函數與思想．