Question

已知函數f（x）=x+

m

x

有如下性質：如果常數m＞0，那么該函數在（0，

m

]上是減函數，在[

m

，+∞）上是增函數．
（Ⅰ）如果函數f（x）=x+

2b

x

（x＞0）在（0，4]上是減函數，在[4，+∞）上是增函數，求實數b的值；
（Ⅱ）求函數g（x）=x+

2

x

在x∈[a，a+1]（a＞0）上的最小值；
（Ⅲ）設常數c∈[1，4]，求函數h（x）=x+

c

x

（1≤x≤2）的最大值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）函數y=x+

2b

x

(x＞0)在（0，4]上是減函數，在[4，+∞）上是增函數，則2^b=16，可求實數b的值；
（Ⅱ）分類討論，確定合適的單調性，即可求函數g（x）=x+

2

x

在x∈[a，a+1]（a＞0）上的最小值；
（Ⅲ）設常數c∈[1，4]，h（1）-h（2）=

c-2

2

，分類討論求函數h（x）=x+

c

x

（1≤x≤2）的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數y=x+

2b

x

(x＞0)在（0，4]上是減函數，在[4，+∞）上是增函數，
∴2^b=16，則b=4；┅┅┅┅（2分）
（Ⅱ）y=x+

2

x

在區間(0，

2

]遞減，在[

2

，+∞)遞增，┅┅┅┅（3分）
∴0＜a≤

2

-1時，y_min=

a2+2a+3

a+1

；

2

-1＜a≤

2

時，y_min=2

2

；

2

＜a時，y_min=a+

2

a

；，┅┅┅┅（7分）
（Ⅲ）∵c∈[1，4]，∴

c

∈[1，2]，∵h（1）-h（2）=

c-2

2

，┅┅┅┅（8分）
當1≤c＜2時，函數f（x）的最大值是h（2）=2+

c

2

；┅┅┅┅（10分）
當c=2時，函數f（x）的最大值是h（1）=f（2）=3；┅┅┅┅（11分）
當2＜c≤4時，函數f（x）的最大值是h（1）=1+c┅┅┅┅（12分）

點評：本題考查函數的最值及其幾何意義，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．