Question

已知z₁，z₂∈C且|z₁|=4，|z₁-z₂|=5，|z₁+z₂|=5，則|z₂|=

3

．

Answer 1

分析：根據所給的兩個復數的和與差的模長和一個復數的模長，|z₁|，|z₁+z₂|，|z₁-z₂|，|z₂|四個線段組成以|z₁|，|z₂|為鄰邊，|z₁+z₂|，|z₁-z₂|為對角線的平行四邊形，利用三角形中余弦定理求出結果．

解答：解：已知z₁，z₂∈C且|z₁|=4，|z₁-z₂|=5，|z₁+z₂|=5，
∵|z₁|，|z₁+z₂|，|z₁-z₂|，|z₂|四個線段組成以|z₁|，|z₂|為鄰邊，
|z₁+z₂|，|z₁-z₂|為對角線的平行四邊形，設|OM|=|z₂|，|OP|=|z₁|，|ON|=|z₁+z₂|，則|MP|=|z₁-z₂|，
設MP∩ON=Q，在△OPQ中，由余弦定理可得 16=

25

4

+

25

4

-2×

5

2

×

5

2

 cos∠OQP，
解得 cos∠OQP=-

7

25

，∴cos∠OQM=

7

25

．
△OQM中，由余弦定理可得 |z2|2=

25

4

+

25

4

-2×

5

2

×

5

2

 cos∠OQM=9，
故|z₂|=3，
故答案為 3．

點評：本題考查復數求模長，本題所應用的是平行四邊形的性質和余弦定理，本題是一個數形結合的問題，注意解題過程中的數字運算．